Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   4 Малые углы Up:   Первое знакомство с тригонометрией Previous:   2 Тангенс

3 Косинус

Определение. Косинусом острого угла $ \alpha$ в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу $ \alpha$, к гипотенузе треугольника (рис. 12).

Рис. 12: $ \cos\alpha=AC/AB$.
\begin{figure}\epsfbox{t01.5}\end{figure}

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол $ \alpha$, это отношение не зависит.

Косинус угла $ \alpha$ обозначается $ \cos\alpha $ (``косинус альфа'').

\begin{figure}\epsfbox{t03.2}\end{figure}

Задача 3.1   Докажите следующие формулы: а) $ \sin(90^\circ-\alpha )=\cos\alpha $; б) $ \cos(90^\circ-\alpha )=\sin\alpha $; в) $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha =\sin\alpha /\cos\alpha $.

Задача 3.2   Докажите формулу: $ \sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Задача 3.3   Пусть $ \alpha$ - острый угол. Выведите формулу, выражающую $ \cos\alpha $ через $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha$: $ \cos\alpha
=1/\sqrt{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^2\alpha}$.

Указание. Воспользуйтесь рис. 10 из предыдущего параграфа.

Задача 3.4   Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $ a$, угол при основании равен $ \alpha$. Найдите: а) основание; б) высоту, опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на основание.

Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов $ 30^\circ $, $ 45^\circ $ и $ 60^\circ $.

Начнем с угла $ 45^\circ $. Чтобы посчитать его синус, косинус и тангенс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом $ 45^\circ $. В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 13).

Рис. 13: Функции угла $ 45^\circ $.
\begin{figure}\epsfbox{t03.3}\end{figure}

Рис. 14: Углы $ 30^\circ $ и $ 60^\circ $.
\begin{figure}\epsfbox{t03.4}\end{figure}

Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата равна $ \sqrt 2$. Следовательно, из треугольника $ ACD$ получаем:

$\displaystyle \sin45^\circ$ $\displaystyle = CD/AC = 1/\sqrt 2 = \sqrt 2/2;$    
$\displaystyle \cos45^\circ$ $\displaystyle = AD/AC = \sqrt 2/2;$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 45^\circ$ $\displaystyle = CD/AD = 1.$    

Теперь займемся углами $ 30^\circ $ и $ 60^\circ $. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $ 1$ и опустим в нем высоту (рис. 14). Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 1 и острыми углами $ 60^\circ $ и $ 30^\circ $; при этом $ AD=1/2$ (высота $ BD$ в равностороннем треугольнике является также биссектрисой и медианой). теореме Пифагора находим $ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt 3/2$. Теперь, когда длины всех сторон треугольника $ ABD$ нам известны, остается только выписать:

$\displaystyle \sin 30^\circ$ $\displaystyle =AD/AB=1/2;$ $\displaystyle \sin 60^\circ$ $\displaystyle =BD/AB=\sqrt 3/2;$    
$\displaystyle \cos 30^\circ$ $\displaystyle =BD/AB=\sqrt 3/2;$ $\displaystyle \cos 60^\circ$ $\displaystyle =AD/AB=1/2;$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 30^\circ$ $\displaystyle =AD/BD=1/\sqrt 3=\sqrt 3/3;$ $\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 60^\circ$ $\displaystyle =BD/AD=\sqrt 3.$    

Кстати, тот факт, что $ \sin30^\circ=1/2$, был известен вам и раньше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежащий против угла $ 30^\circ $, равен половине гипотенузы.


Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и косинуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник $ ABC$ с углом при основании $ 72^\circ$ и углом при вершине $ 36^\circ$ (рис 15). Проведем в нем биссектрису $ AM$ угла $ A$ и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники $ ABM$ и $ ACM$ равнобедренные и $ AC=AM=BM$. Если $ AB=a$, то $ AC=
2a\cos72^\circ$, $ MC=2AC\cos72^\circ=4a\cos^2{72^\circ}$; так как $ AB=BC= MC+BM=MC+AC$, получаем равенство

$\displaystyle a=4a\cos^2{72^\circ}+2a\cos72^\circ,
$

откуда $ 4\cos^2{72^\circ}+2\cos{72^\circ}-1=0$. Решая это квадратное уравнение

Рис. 15:
\begin{figure}\epsfbox{t03.5}\end{figure}

относительно $ \cos72^\circ$, получаем

$\displaystyle \cos72^\circ=\frac{\sqrt 5 -1}{4}.
$

Задача 3.5   Найдите $ \cos36^\circ$.

Задача 3.6   В окружность вписан правильный пятиугольник. Найдите отношение его стороны к радиусу окружности.

Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выразить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К.Ф. Гаусс окончательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому математику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа). В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник.


Для практических применений нужны не столько точные формулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов конкретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таблицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовавшиеся на практике, давали значения тригонометрических функций не через $ 5^\circ$, а с гораздо более мелким шагом. В настоящее время тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.


Табл. 1: Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой)
\begin{table}\null
\begin{center}
$ \begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\...
...{,}75 & 3{,}73 &
5{,}67 & 11{,}43\\
\hline
\end{array}$\end{center}\end{table}


Задача 3.7   Найдите с помощью таблицы 1 приближенное значение $ \cos 25^\circ$.


       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования