Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   Начальные свойства тригонометрических функций Up:   Первое знакомство с тригонометрией Previous:   3 Косинус

4 Малые углы

В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута - это $ 1/60$ часть градуса; угловая секунда - это $ 1/60$ часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: $ 129^\circ34'16''$.

Задача 4.1   На какой угол поворачивается за одну секунду: а) часовая стрелка часов; б) минутная стрелка часов; в) секундная стрелка часов?

Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на $ 360/12=30^\circ$. Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на $ 30'$; в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на $ 30''$. Теперь вы видите, насколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить.

Представление об угловой минуте дает такой факт: ``разрешающая способность'' человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом $ 1'$ или меньше, на глаз воспринимаются как одна.

Рис. 16: Разрешающая способность.
\begin{figure}\epsfbox{t04.1}\end{figure}

Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 17 угол $ \alpha$ мал, то высота $ BC$, дуга $ BD$ и отрезок $ BE$, перпендикулярный $ AB$, очень близки. Их длины - это $ \sin\alpha$, радианная мера $ \alpha$ и  $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha$. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:

Если $ \alpha$ - малый угол, измеренный в радианах, то $ \sin\alpha\approx\alpha$; $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\approx\alpha$.

Рис. 17: Малые углы.
\begin{figure}\epsfbox{t04.2}\end{figure}

Задача 4.2   Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.

Ответ. $ \sin\alpha^\circ\approx\alpha/180$.


Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры - еще один довод в ее пользу!

Задача 4.3   Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.

Задача 4.4   Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно $ 6370\, км$.

Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).

Рис. 18: Парсек.
\begin{figure}\epsfbox{t04.3}\end{figure}

Задача 4.5   В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек - это расстояние с которого радиус земной орбиты   3 виден под углом $ 1''$ (рис. 18). Сколько километров в одном парсеке? (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.)

Задача 4.6   Военные пользуются единицей измерения углов, называемой ``тысячная''. По определению, тысячная - это $ 1/3000$ развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: $ Р=(В/У)\cdot 1000$. Здесь $ Р$ - расстояние до предмета, $ В$ - его высота, $ У$ - угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 19).

Рис. 19: Формула тысячных.
\begin{figure}\epsfbox{t04.4}\end{figure}

Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число $ \pi$, по мнению военных?

Мы видим, что формулы $ \sin\alpha\approx\alpha$, $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\approx\alpha$ верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, если угол не столь мал. Для угла в $ 30^\circ $ точное значение синуса равно $ 0{,}5$, а радианная мера равна $ \pi
/6\approx 0{,}52$. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула $ \sin\alpha\approx\alpha$, равна примерно $ 0{,}02$, что составляет $ 4\%$ от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет $ 4\%$. Для углов, меньших $ 10^\circ$, относительная погрешность формулы $ \sin\alpha\approx\alpha$ меньше одного процента. Чем меньше угол $ \alpha$, тем меньше относительная погрешность формулы $ \sin\alpha\approx\alpha$.

Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы - и не только малых углов - с хорошей точностью. Например, формула $ \sin\alpha\approx\alpha-\alpha^3/6$ (напоминаем, что $ \alpha$ измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее $ 1\%$ уже для всех углов, не превосходящих $ 50^\circ$. Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.

Задача 4.7   Пусть $ \alpha$ - острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство $ \cos\alpha > 1- \alpha^2$.

Указание. Воспользуйтесь формулой $ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$, неравенством $ \sin\alpha <\alpha$ и неравенством $ \sqrt{t}>t$ (для $ 0<t<1$).

Задача 4.8   Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее $ 5^\circ$ относительная погрешность этого приближения будет менее $ 1\%$.


       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования